확률과 랜덤변수
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작성일 23-02-06 01:54
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<2010년 1월 1일부터 2010년 4월 5일까지 세계에서 발생한 강도 4 이상의 지진들에 대한 data가 있다 관측자가 1일 4교대로 근무를 한다고 할 때, 한 번의 근무시간 동안 관측할 수 있는 지진의 수는 어떤 random variable에 해당할까? 수식을 이용해 PMF를 modeling해 보고, 실제 data를 分析해서 얻은 통계적 PMF와 비교해 보자. 실제 양상과 model은 잘 맞아떨어지는가? 차이가 있다면 어디서 발생한 것일까?>
실제 사례를 이용한 simulation을 통해 experiment(실험)적 결과와 이론적 확률이 일치함을 확인하고 random variable 간의 관계를 이해한다
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실제 사례를 이용한 simulation을 통해 실험적 결과와 이론적 확률이 일치함을 확인하고 random variable 간의 관계를 이해한다
Poisson RV은 Binomial RV에서의 n이 크고 p가 매우 작을 때 성립한다. -관측자의 한 번의 근무시간은 하루 6시간이다. 또한 2월 24일의 지진발생 횟수는 6회로 平均(평균)의 1/4배이다.
α는 平均(평균)값으로 n*p로 나타낸다. 이처럼 날마다 일어나는 지진의 횟수가 고르지 못하고 매우 다양하다는 사실이 실제와 수식적 PMF에 차이를 가져온 듯하다. 그러므로 binomial RV PMF의 식에서 p=α/n로 표현할 수 있고 식을 요약해보면 {n(n-1)⦁⦁⦁(n-x+1)}/n^x*α!/x!*(1-α/n)^n/(1-α/n)^x가 된다 큰 n에 대상으로하여 (1-α/n)^n은 e^(-α)로 근사될 수 있으며 실제로 p=0.02이고 α=2일 때 계산을 해보면 0.1326과 0.1353으로 거의 비슷한 값이 나온다. 그리고 엄청난 횟수의 지진발생에 비해 관측자가 실제로 근무시간 중 관측할 수 있는 지진의 횟수는 平均(평균) 7.3회(α=7.3) 정도이므로 매우 적은 편이다. 그리고 마찬가지로 n의 값이 크므로 n(n-1)⦁⦁⦁(n-x+1)/n^x는 1로 근사되고 (1-α/n)^x는 1로 근사할 수 있다 다 요약하면 Poisson RV PMF의 식은 e^(-α)*α!/x!가 된다
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확률과 랜덤변수
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다. 그러므로 위의 농구선수의 눈을 가리고 뒤돌아서게 한 다음 자유투를 100번 정도 던지게 하면 Poisson의 조건에 거의 만족할 것 같다. 발생 수는 많지만 그 관측 가능한 확률이 매우 작다는 것을 보아 지진의 수는 Poisson random variable이라고 할 수 있다 다음의 두 PMF 그래프를 보면 X축이 커지면 거의 0이라는 점에서 비슷한 양상을 보이는데 이론(理論)적인 그래프는 곡선의 형태를 그리지만 data에 의존한 실험적 그래프는 X축이 충분히 작을 때 각 data값에 따라 들쭉날쭉한 확률을 기록하고 있다 2월 27일 지진이 일어난 횟수는 무려 113회로 1일 일어나는 平均(평균) 지진횟수의 거의 5배였다. 이때의 성공할 확률 p는 0.02로 가정한다.
